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２． 乱数はシュミレーションの基本－－ 乱数の発生方法－－
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何の規則性もなしに、物事が起こることをコンピュータで実験するには、でたらめな数の列－－乱数－－が必要です。この章では、シミュレーションに必ず必要となる、乱数の発生方法と、その性質を理解します。
乱数とは
乱数とは、なんらかの方法で、どの数も等しい確率で、でたらめになるように選んで、数字の列を作ったものです。例えば、さいころをふって出た目を記録すれば、それは１から６までの乱数になります。あるいは、１円のアルミの硬貨を
１００枚用意しておき、その１枚、１枚に、００、０１、０２、・・・、９９という番号を書いておき、それを十分かきまぜて、目をつぶって取り出せば、００から９９までの乱数となります。
コンピュータによる乱数作り
コンピュータで乱数を発生させるには、いくつかの方法がありますが、例えばある数字（これを“たね”と言います）をなんども掛けあわせると、０から９ま
での数字がほぼ同数ずつ現われ、規則性も少ないので、乱数発生して使われます。このような方法で作られる乱数は、真の意味の乱数ではなく、疑似乱数と言い
ます。
コンピュータの疑似乱数を乱数として使用する場合は、次のような条件を満足しなければなりません。
① 周期が長いこと
疑似乱数では、まったく同じ数列が繰り返し出現する場合があります。その周期が短いと乱数としての意味がなくなります。
② 統計的検定に耐えること
たとえ、周期が長くとも、
０、 ０、 ０、 １、 １、 １、 ２、 ２、 ２、 ２
といった、ある種の法則に従って出現する数列は、乱数とは言えません。あとで述べる統計的検定という方法で、試験をします。
③ 再現性があること
シミュレーションに用いる場合、同一の乱数を使用して、異なったモデルでシミュレーションし、比較検討する場合があります。またプログラムのデバッグ時にも何度も同じ系列の乱数を必要とする場合があります。すなわち乱数に、再現性が必要されます。
④ 乱数発生のスピードが早いこと
シミュレーションでは、乱数を何度も繰り返し用いて実験を行い、多数回の実験結果から普遍性のある共通因子を求めます。このため乱数発生に要する計算スピードが早くなければなりません。
次に述べるように、Ｊａｖａ言語には、Math.random()メソッドという乱数発生機構があり、これは、上記①～④の条件がよく満足されます。
Math.random()メソッド
ＪａｖａのMath クラスのなかにMath.random()メソッドは、あります。（メソッドはC言語の、関数に相当します）
public static double random()
と定義されており、このメソッドが呼び出されるたびに、0.0 以上で、1.0 より小さい正の符号の付いた double 値を返します。戻り値は、この範囲からの一様分布によって擬似乱数的に選択されます。
本ホームページにおいては、このMath.random()メソッドをすべてのプログラムで用いますので、詳しく調べてみることにしましょう。
ためしに簡単なＪａｖａプログラム S0220.java をつくり実行してみます。結果は、２０個の小数点以下の乱数が出力されました。
もう一度、このプログラムを実行してみると、別系列の乱数が発生されます。Math.random()メソッドは、実行するたびに初期化され、新しい乱数が作られることに、注意してください。
図２．２．１ S0220.java
の実行結果 |
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| S0220.java Math.randomを使ってみる | Download | 実行 | |
/* S0220.java
* Math.random()を使ってみる
* (C) H.Ishikawa 2008
*/
package simulation;
import java.applet.*;
import java.awt.*;
public class S0220 extends Applet{
public void paint(Graphics g) {
int NUMBER = 20;
int j;
double r;
for (j = 1; j <= NUMBER; j++){
r = Math.random(); //乱数発生
g.drawString("" + r, 10, j * 10); //rをStringに変換
}
}
}
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一様に分布しているか
Javaの乱数が、本当に一様分布しているかどうかを調べます。プログラムS0230.java のように、Math.random()メソッドで乱数を次々発生させ、0.1ごとのキザミ幅、0～0.1, 0.1～0.2, 0.2～0.3, ･･･にそれぞれ何個入るかをカウントしてみます｡S0230.javaでは乱数を発生させ、それぞれのキザミに対応し、i = 0, 1, 2, 3, ･･･,9 となるように１０倍し、整数部分を取り出しています。それぞれのキザミに、いくつ落ちるかを f[i] としてカウントします。
理論分布との比較
ところで、理論分布 f0 は10000 / 10 = 1000となるはずですが、プログラムS0230.java の
結果が、果たして、一様乱数と言えるのか心配になります。一般に統計学では母集団をサンプリングして得られた分布と、既知の分布との間に差があるかどうか
を判定することを、“適合度の検定”（以下では単に検定）と言います。例えば、全国民の年令別の構成がわかっている時、東京都民の年令構成が全国と差があ
るかどうかを、東京都民の数百人の年令構成を調査し、そのサンプリング・データから判断する場合などに、この検定が用いられます。
さきほどの、一様乱数発生の例では、サンプリング・データは f(i) 、既知の分布は f0 = 1000に相当します。
検定
検定は、次のように行ないます。
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・・・・・ |
式２．３．１ |
というものを考えてみます。これを通常 χ2 カイ自乗と読む）と言います。この量は、サンプリング・データと、理論度数とのくい違いの程度を表わしています。もしサンプリング・データと理論度数のくい違いがまったくなければ、χ2 = 0 となり、くい違いが大きいほど χ2 は大きくなります。
同じ母集団からのサンプリングのやり方は、何通りもあるので、 χ2 は”χ2分布”という分布に従うことが知られています。χ2分布は自由度と呼ばれるパラメータを持っていて、この例では９（キザミの数－１）です。χ2分布は図２．３．１のような形をしており、χ2分布表を表２．３．１に示します。この表は、 χα2 と χα2 の右側の面積αの関係を表わしており、サンプリング・データから得られた χ2 が χα2 より小さければ、”危険率αで理論度数とサンプリング・データが等しい”と言えることになります。
| 図２．３．１ χ2分布 |
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頻度検定のプログラム
プログラムS0230.javaでは xs として χ2 を計算しています。このプログラムの実行をクリックして見てください。図２．３．２のように、xs が出力されます。一方、表２．３．１から危険率５％の χα2 は 16.919 ですから、xs はこの値より小さく、したがって５％の危険率で一様分布であると言ってよいことがわかります。すなわち、Math.random()メソッドの頻度テストは合格したことになります。
図２．３．２
S0230.javaの実行結果 |
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| S0230.java 頻度検定 | Download | 実行 | |
/* S0230.java
* 頻度検定
* (C) H.Ishikawa 2008
*/
package simulation;
import java.applet.*;
import java.awt.*;
public class S0230 extends Applet{
public void paint(Graphics g){
int NUMBER = 10000; /* 発生させる乱数の数 */
int j; /* forのカウンタ */
int i; /* 0.1ごとのキザミの番号 */
int f[] = new int [10]; /* キザミiに落ちる乱数の数 */
double f0; /* 理論度数 */
double xs = 0.0; /* カイ自乗の値 */
f0 = NUMBER/10.0;
for (j = 1; j <= NUMBER; j ++){
i = (int)(Math.random() * 10);
f[i] = f[i] + 1;
}
g.drawString(" i f[i]", 10, 10);
/*頻度の検定*/
for (i = 0; i <= 9; i ++){
g.drawString(" " + i , 10 , 20 + 10 * i);
g.drawString(" " + f[i] , 30 , 20 + 10 * i);
xs = xs + (f[i] - f0) * (f[i] - f0) / f0;
}
g.drawString("xs = " + xs , 10, 30 + 10 * i);
}
}
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ポーカ検定とは
頻度が一様だからと言って、ただちに一様乱数であるとは言えません。例えば、
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ････
は頻度検定には合格しますが、繰り返しが規則的で乱数とは認められないでしょう。ポーカ検定は、無規則性の検定の手法で、整数の乱数の列を連続して５つず
つまとめ、５桁の数字とみてグループを作り、トランプのポーカと同じように手を作って調べます。０から９の種類のカードを５枚くばったと考えると、次の”
場合”があります。
０ abcde: 5の数字が全部異なっている。
１ aabcd: 同じ数字２つからなるペアが一組ある。
２ aabbc: ペアが二組ある。
３ aaabc: 同じ数字が３つある。
４ aaabb: 同じ数字が３つと、ペアが１つある。
５ aaaab: 同じ数字が４つある。
６ aaaaa: 全部の数字が同じである。
これらの起こる確率は理論的に求められ、その値を表２．４．１に示します。
ポーカ検定のプログラム
この理論値と、実際にコンピュータで発生させた疑似乱数による数字のならびと比較してみましょう。プログラム S0240.javaでは、Math.random()メソッドにより５個の ０ から ９ までの整数のならびを作ります。それを n[0], n[1], n[2], n[3], n[4]とします。次に、図２．４．１のとおりの比較を行い、もし同じ数字であれば、count を １ 増加させていきます。全部同じ数字であれば count = 10となり、全部異なれば count = 0 となります。上に述べた”場合” ０ ～ ６ に対して、count は表２．４．１の値をとりますから、それを”場合”を表わす i に変換します。頻度 f[i] をカウントし、 χ2 を
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・・・・・ |
式２．４．１ |
によりもとめ、この χ2 を自由度６ のχ2 分布表を用いて検定します。
このプログラムの実行してみましょう。図２．４．２が得られます。Math.random()メソッドは、ポーカテストにおいても合格します。
| 図２．４．１ ポーカーテストの方法 |
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| 図２．４．２ S0240.java の実行結果 |
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| S0240.java ポーカ検定 | Download | 実行 | |
/* S0240.java
* ポーカ検定
* (C) H.Ishikawa 2008
*/
package simulation;
import java.applet.*;
import java.awt.*;
public class S0240 extends Applet{
public void paint(Graphics g) {
int NUMBER = 1000000; /* 発生させる乱数の数 */
int i; /* 表に示すi */
int count; /* 表に示すcount */
int j, j1, j2, k; /* forのカウンタ */
int f[] = new int[7]; /* iごとの度数 */
int f0[] = new int[7]; /* 理論度数 */
int n[] = new int[5]; /* ５個の数字の並び */
double xs = 0.0; /* カイ自乗値 */
double diff; /* 理論値との差 */
f0[0] = (int)(NUMBER * 0.3024);
f0[1] = (int)(NUMBER * 0.5040);
f0[2] = (int)(NUMBER * 0.1080);
f0[3] = (int)(NUMBER * 0.0720);
f0[4] = (int)(NUMBER * 0.0090);
f0[5] = (int)(NUMBER * 0.0045);
f0[6] = (int)(NUMBER * 0.0001);
for (k = 1; k <= NUMBER; k ++){
for (j = 0; j < 5; j ++){
n[j] = (int)(Math.random() * 10);
}
count = 0;
for (j1 = 0; j1 < 4; j1 ++){
for (j2 = j1 + 1; j2 < 5; j2 ++){
if (n[j1] == n[j2]) {
count = count + 1;
}
}
}
if (count == 10){
i = 6;
} else if (count == 6){
i = 5;
} else{
i = count;
}
f[i] = f[i] + 1;
}
g.drawString(
" i f[i] f0[i]"
, 10, 10);
for (i = 0; i <= 6; i++){
g.drawString(" " + i, 10 , 20 + 10 * i);
g.drawString(" " + f[i], 40 , 20 + 10 * i);
g.drawString(" " + f0[i], 120 , 20 + 10 * i);
diff = f[i] - f0[i];
xs = xs + diff * diff / f0[i];
}
g.drawString(" xs = " + xs, 10, 30 + 10 * i);
}
}
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１． １から６までの整数が等確率で出現する、さいころのシミュレーションを行ないなさい。さいころをふるたびに、でたらめな数がでるようにしなさい。
（解答） A0210.java | 実行 |
２． １桁の区間０から９までの乱数があったとき、同じ数が現われるまでの間隔を、ギャップといいます。その長さが r である確率は、
で表わされます（r = 0 は、続いて同じ数字が現われた場合）。このことを用いて、Math.random()メソッドの乱数のギャップ検定を行ないなさい。
（解答） A0220.java | 実行 |
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